Αγγλική ορολογία

Σειρές Fourier 1- περιοδικών συναρτήσεων και Lebesgue ολοκληρώσιμων στο [0,1)---- Μετασχηματισμός Fourier συναρτήσεων του L^1(R) και του L^2(R)

Διανυσματικοί χώροι. Βάσεις. Διάσταση. Προσανατολισμός διανυσματικού χώρου. Γραμμικές απεικονίσεις. Αφινική Γεωμετρία: Αφινικοί χώροι. Εξισώσεις ευθείας και επιπέδου. Αφινικές απεικονίσεις. Καμπύλες δεύτερης τάξης, ταξινόμηση και κριτήρια αναγνώρισης. Στοιχεία Προβολικής γεωμετρίας: Ομογενείς συντεταγμένες. Κατ΄εκδοχήν σημεία. Προβολική ευθεία, προβολικό επίπεδο. Τομή δύο ευθειών στο προβολικό επίπεδο. Ευκλείδεια Γεωμετρία: Εσωτερικό και διανυσματικό γινόμενο.Ευκλείδειοι διανυσματικοί και αφινικοί χώροι. Ισομετρικές απεικονίσεις.

Σφάλματα – Παράσταση αριθμών – Πολυώνυμα – Παρεμβολή – Αριθμητική παραγώγιση – Αριθμητική ολοκλήρωση – Αριθμητική επίλυση εξισώσεων - Αριθμητική Ανάλυση με MATLAB/Octave

Ισοβαρικές επιφάνειες. Αέριες μάζες, επιφάνειες ασυνέχειας, θερμά και ψυχρά μέτωπα.Κυκλώνες, αντικυκλώνες. Τροπικοί κυκλώνες.Στοιχεία γενικής κυκλοφορίας της ατμόσφαιρας. Οι εξισώσεις κίνησης στην ατμόσφαιρα. Άνεμοι: γεωστροφικός, βαροβαθμίδας, κυκλοστροφικός και θερμικός.
Η εξίσωση της συνέχειας. Η εξίσωση της βαρομετρικής τάσης. Το θεώρημα της κυκλοφορίας. Το θεώρημα του στροβιλισμού. Απόλυτος και σχετικός στροβιλισμός. Δυναμικός στροβιλισμός.

H ομάδα Aff(n). Σύντομη υπενθύμιση ισομετριών του επιπέδου και του χώρου. Η ομάδα ISO(n). Υποομάδες Ισομετριών (διακριτές, πεπερασμένες, σταθερού σημείου).Κύκλος και η ομάδα SO(2). Σφαιρική γεωμετρία (σφαιρικές συντεταγμένες, τρίγωνα, μέγιστοι κύκλοι). Iσομετρίες της σφαίρας, οι ομάδες Ο(3), SO(3). Στερεογραφική προβολή, πραγματική προβολική ευθεία, μετασχηματισμοί Mobius. SL(2,R) και δράση στο RP(1), ομάδα PSL(2,R). Μιγαδική προβολική ευθεία, SL(2,C) και δράση στο CP(1), σφαίρα Riemann, η ομάδα PSL(2,C). Πραγματικό προβολικό επίπεδο και SL(3,R). Υπερβολικό επίπεδο.

1) Θεώρημα προσέγγισης του Dirichlet -Το άρρητο των e, π, π^2, ζ(2), ζ(3). -Εξίσωση Pell-Fermat. -Ταυτόχρονη Διοφαντική προσέγγιση. -Λήμμα του Siegel. 2) Θεώρημα προσέγγισης του Kronecker. -Αναγωγή modulo 1. -Γραμμική ανεξαρτησία αριθμών πάνω απ'το Q. -Ισοκατανομή modulo 1 και Κριτήριο του Weyl. -Ανισότητα van der Corput. 3) Γεωμετρική Θεωρία Αριθμών. -Πλέγματα, θεμελιώδη χωρία. -Θεωρήματα του Minkowski στα διαδοχικά ελάχιστα. -Εφαρμογές των θεωρημάτων του Minkowski: θέωρημα 4 τετραγώνων, παραγοντοποίηση στο Z[i], αθροίσματα 2 τετραγώνων. 4) Αριθμητικές συναρτήσεις. -Ο συμβολισμός Ο. -Εκτιμήσεις αριθμητικών συναρτήσεων και αθροισμάτων τους. -Μετασχηματισμός Abel, τύπος του Euler. -Εφαρμογές: το πρόβλημα κύκλου του Gauss, υπολογισμός πυκνότητας υποσυνόλων των φυσικών. -Σύγκλιση σειρών Dirichlet. -Αναλυτική συνέχιση της συνάρτησης ζ.

Το μάθημα αφορά   πολυδιάστατους (άνω του 3) ομοπαραλληλικούς (αφινικούς) χώρους. Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται κυρίως στους ομοπαραλληλικούς υποχώρους, τις ιδιότητες και την γεωμετρία αυτών, τις αναπαραστάσεις τους με συστήματα εξισώσεων και τις μεταξύ τους ομοπαραλληλικές απεικονίσεις. Ουσιαστικά γενικεύονται έννοιες τις αναλυτικής γεωμετρίας (με την βοήθεια της γραμμικής άλγεβρας) στις πολλές διαστάσεις .

Πληθυσμός και Δείγμα. Ορισμός της Δειγματοληψίας και χρησιμότητα της Δειγματοληψίας με Πιθανότητα. Εκτιμήτριες: Βασικές Ιδιότητες και ο ρόλος στους στον Προγραμματισμό της δειγματοληψίας. Βασικά είδη τεχνικών Δειγματοληψίας:

Α) Απλή Τυχαία Δειγματοληψία (ΑΤΔ),

Β) Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ) (διάφορες εκδοχές της),

Γ) Συστηματική Δειγματοληψία (ΣυΔ)(Εισαγωγικά, Κυκλικός νόμος, ΣυΔ σε 2-διάστατους πληθυσμούς, Βέλτιστες επιλογές δέιγματος),

Δ) Δειγματοληψία κατά Συστάδες (ΔκΣυ) (ισομεγέθεισ συστάδες και εισαγωγή στις τεχνικές με μή ισομεγέθεις). Σύγκριση μεθόδων δειγματοληψίας. Εφαρμογές της Δειγματοληψίας στην Οικονομία, Οικολογία και Πολιτική. Δείκτες, Τιμάριθμοι. Κλασσικά παραδείγματα εφαρμογής από τη βιβλιογραφία και την καθημερινή πράξη. Διαχείριση Αναποφάσιστων ψηφοφόρων ηλεκτρονική ή μή. 

Το μάθημα αποτελεί μια εισαγωγή στις μεθόδους δειγματοληψίας (περισσότερες λεπτομέρειες θα βρείτε στον οδηγό σπουδών για το έτος 2017-18, ο οποίος ανανεώνεται διαρκώς). Βασίζεται στις σημειώσεις του διδάσκοντα και τα παρακάτω προτεινόμενα ελληνικά συγγράμματα : 1. Φαρμάκης Νίκος. "Εισαγωγή στη δειγματοληψία". Εκδόσεις Αφοί Κυριακίδη Α.Ε. Θεσσαλονίκη, 2016. 2. Δαμιανού Χ. Χαράλαμπος. "Μεθοδολογία Δειγματοληψίας τεχνικές και εφαρμογές". Εκδόσεις "σοφία" α.ε. Θεσσαλονίκη 2016" 

Το μάθημα αποτελεί μια εισαγωγή στην περιοχή των διαφορικών εξισώσεων, εστιάζοντας αρχικά και σε μεγαλύτερο βαθμό (όπως είναι λογικό σε ένα τέτοιο εισαγωγικό επίπεδο) στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Παρουσιάζονται  διάφορες μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, αναπτύσσουμε ωστόσο και τη βασική θεωρία για την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ενός προβλήματος αρχικών/συνοριακών τιμών, καθώς και τη δομή του συνόλου λύσεων σε γραμμικές εξισώσεις.

Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, γραμμικές, χωριζομένων μεταβλητών, ομογενείς, πλήρεις, ολοκληρωτικοί παράγοντες, εξισώσεις αναγόμενες σε γραμμικές (Bernoulli, Riccati). Μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων Picard. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης, ομογενείς γραμμικές εξισώσεις, ομογενείς γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, μη-ομογενείς γραμμικές, μέθοδος μεταβολής παραμέτρων και μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων, ομογενή γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές, μη-ομογενή γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές. Μέθοδος των πινάκων. Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη χρήση δυναμοσειρών. Γραμμικές δ.ε. με μ.π. πρώτης τάξης. Το πρόβλημα του Cauchy. Μετασχηματισμοί Laplace.

Εισαγωγή. Μερικές απλές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Καλώς τοποθετημένα προβλήματα. Κλασσικές λύσεις. Ασθενείς λύσεις και κανονικότητα. Τέσσερες σημαντικές γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. 1) Η εξίσωση της Μεταφοράς. Το πρόβλημα αρχικών τιμών. Το μη ομογενές πρόβλημα. 2) Η εξίσωση του Laplace, και η εξίσωση του Poisson. Θεμελιώδης λύση. Στοιχεία από την θεωρία των κατανομών. Οι τύποι της μέσης τιμής. Ιδιοτιμές των αρμονικών συναρτήσεων. Η αρχή του ισχυρού μεγίστου και μοναδικότητας των λύσεων ορισμένων προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση του Poisson. Εξομαλυντές και λειότης. Τοπικές εκτιμήσεις για τις παραγώγους των αρμονικών συναρτήσεων. Το θεώρημα του Liouville. Η ανισότης του Harnack. Η συνάρτηση του Green. Η συνάρτηση του Green για ένα ημιχώρο και μία μπάλα. 3) Η εξίσωση της θερμότητας. Θεμελιώδης λύση. Ερωτήματα αντίστοιχα με αυτά της παραγράφου (2). 4) Η εξίσωση των κυμάτων.

Γίνεται μια εισαγωγή στην περιοχή των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, και αναπτύσσονται μέθοδοι ποιοτικής ανάλυσης ή/και επίλυσης διαφόρων κλασικών και αντιπροσωπευτικών προβλημάτων αρχικών/συνοριακών συνθηκών.

Επισκόπηση στοιχείων Διανυσματικής Ανάλυσης. Εξωτερική άλγεβρα σε πραγματικό διανυσματικό χώρο. Στοιχεία θεωρίας πολλαπλοτήτων. Διαφορικές μορφές, εξωτερικό γινόμενο και διαφορικό μορφής. Πολλαπλότητες με σύνορο, το θεώρημα του Stokes. Λήμμα του Poincaré. Ορισμός συνομολογίας de Rham.