Στόχος του μαθήματος είναι να φέρει τους φοιτητές σε επαφή με τον «κόσμο» των διαφορισίμων πολλαπλοτήτων, όπου συνυπάρχουν και αλληλοεπιδρούν η Γεωμετρία, η Άλγεβρα και η Ανάλυση, και να αποκτήσουν τις βασικές γνώσεις που θα τους επιτρέψουν να παρακολουθήσουν και να ασχοληθούν με πιο εξειδικευμένα μαθήματα - θέματα Διαφορικής Γεωμετρίας, Ανάλυσης, Δυναμικών Συστημάτων, κλπ.

Στο αναφερόμενο μάθημα, θα αρχίσουμε από μία αναλυτική παρουσίαση των βασικών εννοιών που σχετίζονται με την έννοια της διαφορίσιμης πολλαπλότητας και των τεχνικών που εφαρμόζονται για τη μελέτη τους, θα μελετήσουμε κάποια βασικά θεωρήματα στα οποία «στηρίζεται» όλη η θεωρία των πολλαπλότητων και τα οποία χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των υποπολλαπλοτήτων, των πολλαπλοτήτων πηλίκο καθώς και για την εμφύτευση διαφορισίμων πολλαπλοτήτων σε Ευκλείδειους χώρους. Θα δούμε πώς μπορούμε να επεκτείνουμε τον Λογισμό στις πολλαπλότητες. 

Θεωρίες μάθησης Μαθηματικών Δημιουργία προβλήματος Μαθηματικών Επίλυση προβλημάτων Μαθηματικών Διδασκαλία Άλγεβρας Διδασκαλία Γεωμετρίας Διδασκαλία Συναρτήσεων Πρακτική Άσκηση φοιτητών

Το μάθημα αποτελεί μία εισαγωγή στη Διδακτική των Μαθηματικών και επικεντρώνεται στα εξής θέματα:

1) Θεωρίες μάθησης και διδασκαλίας των Μαθηματικών

2) Δημιουργία και Επίλυση μαθηματικού προβλήματος

3) Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών για τα Μαθηματικά και αξιολόγηση της διδακτικής πράξης και των μαθητών στα Μαθηματικά

4) Ο ρόλος της Μαθηματικής Απόδειξης στη διδασκαλία και κατανόηση των Μαθηματικών.

5) Ο ρόλος της Ψηφιακής Τεχνολογίας στη Διδακτική των Μαθηματικών

6) Χρήσεις της Ιστορίας των Μαθηματικών στη διδασκαλία των Μαθηματικών

7) Θέματα μάθησης και διδασκαλίας της Άλγεβρας

8) Θέματα μάθησης και διδασκαλίας της Γεωμετρίας. Η θεωρία των Van Hiele για τα επίπεδα κατανόησης των γεωμετρικών εννοιών.

9) Θέματα μάθησης και διδασκαλίας των Διακριτών Μαθηματικών.

10) Τα αντιπαραδείγματα και ο ρόλος των λαθών στη μάθηση των Μαθηματικών

Η εξέταση του μαθήματος γίνεται γραπτά σύμφωνα με το Πρόγραμμα Σπουδών του Τμήματος.

Οι φοιτητές/φοιτήτριες μπορούν για αυξήσουν από 0,5 έως και 1,5 μονάδα στη συνολική βαθμολογία να συνθέσουν μια εργασία ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι σε συμφωνία με τον διδάσκοντα και με την επίβλεψή του.

Η εργασία θεωρείται ότι έχει την τελική της μορφή όταν υπάρχει ηλεκτρονικό μήνυμα από τον διδάσκοντα. Η εργασία συνοδεύεται και από μία μορφή παρουσίασης σε power-point.

Επισκόπηση Γραμμικής Άλγεβρας: διανυσματικοί χώροι και γραμμικές απεικονίσεις, συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Αφινικοί χώροι, αφινικοί συνδυασμοί και απεικονίσεις. Θεωρήματα αφινικής γεωμετρίας (Μενελάου, Ceva, Θαλή). Αφινική ταξινόμηση τετραγωνικών καμπυλών: το φασματικό θεώρημα, κριτήριο Sylvester και γενικεύσεις. Προβολικοί χώροι, ομογενείς συντεταγμένες. Ομογενείς εξισώσεις. Υποχώροι. Ευκλείδειοι διανυσματικοί και ορθογώνιες απεικονίσεις. Ευκλείδειοι αφινικοί χώροι, ισομετρίες. Iσομετρίες του Ευκλείδειου αφινικού επιπέδου. Ισομετρίες του Ευκλείδειου αφινικού χώρου.

 Προβολικοί χώροι, βάσεις, προβολικές απεικονίσεις, ο διπλός λόγος. Σφαιρική και ελλειπτική γεωμετρία. Στοιχεία υπερβολικής γεωμετρίας.

Συνεχίζοντας τη μελέτη των Διαφορισίμων Πολλαπλοτήτων, τη βασική θεωρία των οποίων παρουσιάσαμε στο μάθημα Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες Ι, θα ορίσουμε επί μίας λείας πολλαπλότητας Μ μία γεωμετρική διαφορίσιμη δομή, τη μετρική Riemann, και θα αναπτύξουμε τις βασικές ιδέες και κάποια από τα βασικά αποτελέσματα της Γεωμετρίας Riemann. Ιστορικά, η Γεωμετρία Riemann είναι συνδεδεμένη με τις απαρχές της Σύγχρονης Διαφορικής Γεωμετρίας, τα θεμέλια της οποίας έθεσαν οι Johann Carl Friedrich Gauss και Georg Friedrich Bernhard Riemann, αλλά, συγχρόνως, αποτελεί, έως σήμερα, ένα δραστήριο ερευνητικά και με μεγάλη δυναμική κλάδο της Διαφορικής Γεωμετρίας.

Μία μετρική Riemann επί μίας λείας πολλαπλότητας είναι μία έννοια που γενικεύει, κατά κάποιον τρόπο, την έννοια του εσωτερικού γινομένου ενός διανυσματικού χώρου και την έννοια της πρώτης θεμελιώδους μορφής μίας επιφάνειας. Έτσι, οι πρώτες έννοιες που συνδέονται με αυτήν, μάς είναι αρκετά οικείες… Μεταξύ άλλων, θα μιλήσουμε για μήκη, γωνίες, αποστάσεις, εμβαδά, όγκους, και καμπυλότητα επί μίας λείας πολλαπλότητας που θα διαθέτει μία μετρική Riemann. Εν συνεχεία, θα εισαγάγουμε κάποιες καινούργιες, για εσάς, και πολύ βασικές έννοιες, όπως είναι οι γραμμικές συνδέσεις, η παραλληλία σε πολλαπλότητες, οι γεωδαισιακές… που έχουν παίξει σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της Διαφορικής Γεωμετρίας. Με αυτά τα εφόδια θα μπορέσουμε να προσεγγίσουμε πιο ενδιαφέρουσες πτυχές της Γεωμετρίας Riemann και να καταλάβουμε κάποια από τα ομορφότερα Θεωρήματά της.

Εισαγωγικά στοιχεία για την Ατμόσφαιρα της Γης. Ανάλυση των μαθηματικών προτύπων μεταβολής, βασικών μετεωρολογικών παραμέτρων, με το ύψος. Γεωδυναμικό ύψος και χάρτες καιρού. Ηλιακή και γήινη ακτινοβολία. Ανάλυση των θερμοϋγρομετρικών παραμέτρων. Στοιχεία θερμοδυναμικής και στατικής της ατμόσφαιρας. Κλιματικά στοιχεία (θερμοκρασία του αέρα, ατμοσφαιρική πίεση, τοπικοί άνεμοι, υδρολογικός κύκλος, εξάτμιση – εξατμισοδιαπνοή, υδροσυμπυκνώσεις, υδροαπόβλητα). Γεωγραφική κατανομή των βασικών κλιμάτων στον πλανήτη. Κλιματικές κατατάξεις. Επεξεργασία κλιματικών στοιχείων. 

Πράξεις, Σύνολα, κανόνες De Morgan, Προτασιακός λογισμός, Σχέσεις ισοδυναμίας, Ομάδες, Δακτύλιοι, Σώματα: ορισμοί και παραδείγματα. Ο δακτύλιος των ακεραίων. Διαιρετότητα. Πρώτοι Αριθμοί. Ο Αλγόριθμος του Ευκλείδη. ΜΚΔ, ΕΚΠ. Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών. Ο δακτύλιος των κλάσεων υπολοίπων modn. Το σώμα Zp. Γραμμικές ισοδυναμίες. Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις.

Πραγματικοί αριθμοί. Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα. Ακολουθίες και σειρές αριθμών. Αναδιατάξεις σειρών. Παραστάσεις πραγματικών αριθμών. Το σύνολο και η συνάρτηση του Cantor. Είδη συναρτήσεων (μονότονες, φραγμένης κύμανσης, απόλυτα συνεχείς, κυρτές κλπ). Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων. Ομοιόμορφη σύγκλιση και εφαρμογές. Πουθενά διαφορίσιμες συνεχείς συναρτήσεις. Χωροπληρωτικές καμπύλες. Ισοσυνέχεια, θεώρημα Arzela-Ascoli. Θεώρημα πολυωνυμικής προσέγγισης τού Weierstrass. Το μέτρο Lebesgue.

C++: Εισαγωγή στην C++ και τον αντικειμενοστραφή προγραμματισμό. Επίλυση ενός προβλήματος από τον Η/Υ (η έννοια του αλγορίθμου). Δομή της C++ (μεταβλητές, σταθερές, εκφράσεις, προτάσεις, τελεστές, εντολές εισόδου-εξόδου, εντολές συνθήκης-διακλάδωσης, δημιουργία βρόγχων επανάληψης, συναρτήσεις, πίνακες, κλπ). 

Fortan 95: Εισαγωγή στους Η/Υ και τις γλώσσες προγραμματισμού. Επίλυση ενός προβλήματος με τον Η/Υ (η έννοια του αλγορίθμου). Βασικά στοιχεία ενός προγράμματος Η/Υ στη Fortran 95. Δομή της Fortran 95, τελεστές, εντολές εισόδου-εξόδου, εντολές συνθήκης και διακλάδωσης, δομές επανάληψης, πίνακες μονοδιάστατοι και διδιάστατοι, συναρτήσεις, διαδικασίες. 

Διδάσκονται τα αξιώματα του Νεύτωνα, οι ταλαντώσεις, αρμονική, με απόσβεση και εξαναγκασμένη, και οι κεντρικές δυνάμεις με έμφαση στις βαρυτικές δυνάμεις και το πρόβλημα των δύο σωμάτων.

Άλυτα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών - Γραμμικές ισοδυναμίες - Συστήματα γραμμικών ισοδυναμιών - Πολυωνυμικές ισοδυναμίες - Αριθμητικές συναρτήσεις - Τετραγωνικά υπόλοιπα - Τετραγωνικά σώματα αριθμών - Εφαρμογές.

Μέτρο και Ολοκλήρωμα Lebesgue