Δράση ομάδας σε σύνολα και σε ομάδες (μετάθεση αναπαράσταση, Τροχιές, Σταθεροποιητές, Λήμμα Τροχιά-Σταθεροποιητής), Μεταβατική Δράση, Δράση ομάδας με συζυγία (κανονικοποιητής, κεντροποιητής, εξίσωση κλάσεων συζυγίας), ημιευθύ γινόμενο ομάδων (Διεδρική ομάδα), Αβελιανές ομάδες (Ελεύθερη αβελιανή ομάδα πεπερασμένης βαθμίδας, Ελεύθερη στρέψης αβελιανή ομάδα, Περιοδική αβελιανή ομάδα), Το Θεώρημα διάσπασης πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων (αναλύσιμες και μη αναλύσιμες), Θεωρήματα του Sylow (Η μέθοδος της απαρίθμησης, η κυκλική μέθοδος), Aπλές ομάδες, Ομάδες μικρής τάξης.

Πράξεις γεγονότων, Κλασικός ορισμός της πιθανότητας, αξιωματικός ορισμός. Δεσμευμένη πιθανότητα. Θεώρημα ολικών πιθανοτήτων. Θεώρημα Bayes, ανεξαρτησία. Συνδυαστική (μεταθέσεις, συνδυασμοί, κλπ.), δειγματοληψία, διωνυμικές και υπεργεωμετρικές πιθανότητες, διωνυμικοί συντελεστές και τύπος του Stirling, γεωμετρικές πιθανότητες. Απαριθμητές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, διακριτές διδιάστατες τυχαίες μεταβλητές, συνέλιξη τυχαίων μεταβλητών, δεσμευμένες κατανομές, ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση, ροπές, ανισότητες Markov και Chebyshev. Πιθανογεννήτριες, ροπογεννήτριες. Απαριθμητές και συνεχείς μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές, ασυμπτωτική συμπεριφορά κατανομών, σχέσεις μεταξύ κατανομών

Αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων, Ορισμός τυχαίας μεταβλητής και τυχαίου διανύσματος, Συναρτήσεις κατανομών και πυκνότητας,Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές, Πολυδιάστατες κατανομές, Απαριθμητές πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές, Συνεχείς πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές, Θεώρημα Radon-Nikodym, Χρήσιμες πολυδιάστατες κατανομές, Χαρακτητιστηκά πολυδιάστατων τυχαίων μεταβλητών : Πολυδιάστατες μέσες τιμές, Πίνακας συνδιακυμάνσεων, κλπ. Δεσμευμένες κατανομές, Καμπύλη παλινδρόμησης, Διατεταγμένες τυχαίες μεταβλητές, Χαρακτηριστικές συναρτήσεις πολυδιάστατων τυχαίων μεταβλητών, Ροπογεννήτριες και πιθανογεννήτριες πολυδιάστατων τυχαίων μεταβλητών, Εφαρμογές των πολυδιάστατων τυχαίων μεταβλητών : Συγκλίσεις ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών, Ταξινόμηση συγκλίσεων, Οριακά Θεωρήματα (Νόμοι των μαγάλων αριθμών, Κεντρικά οριακά θεωρήματα, κλπ). 

Επεκτάσεις σωμάτων. Πρώτα σώματα. Αλγεβρικές και Υπερβατικές επεκτάσεις. Ταξινόμηση Απλών Επεκτάσεων. Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη. Αλγεβρική θήκη ενός σώματος. Σώματα διάσπασης. Κανονικές και Διαχωρίσιμες επεκτάσεις.  Πεπερασμένα σώματα. Αυτομορφισμοί σωμάτων. Ομάδα Galois και επέκταση Galois. Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois. Εφαρμογές: επιλυσιμότητα με ριζικά, το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας, ρίζες της μονάδας.

Η έμφαση στις επιλεγμένες ενότητες του μαθήματος θα δοθεί στα Μαθηματικά του Ελληνικού Κόσμου και πώς αυτά επηρέασαν την πορεία και την εξέλιξη των Μαθηματικών στις νεότερες περιόδους εξέλιξης τους.

Θεωρία καμπύλων: Ορισμός κανονικής παραμέτρησης καμπύλης. Καμπυλότητα και ορθοκανονική βάση Frenet. Οι εξισώσεις Frenet-Serret. Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας καμπύλων (ύπαρξη και μοναδικότητα). Επαφή καμπυλών και εφαπτόμενος κύκλος. Επίπεδες καμπύλες, καμπυλότητα και ρυθμός μεταβολής γωνίας. Θεωρία επιφανειών: Έννοια της επιφάνειας. Επιφανειακές καμπύλες. Πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή. Καμπυλότητα Gauss, και μέση καμπυλότητα, πρωτεύουσες καμπυλότητες. Σύμβολα Christoffel. Απεικόνιση Gauss και εξισώσεις του Gauss και του Weingarten. Θεώρημα Egregium του Gauss. Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας επιφανειών.

[16/11/22] Απενεργοποιήθηκε η δυνατότητα αυτο-εγγραφής, καθώς οι λίστες έχουν οριστικοποιηθεί. Εάν κάποιος που δεν είναι στη λίστα θέλει να τον εγγράψω, ας μου στείλει ένα μήνυμα.

Υπενθύμιση βασικών κατασκευών της Διαφορικής Γεωμετρίας (Κύρια και μέση καμπυλότητα, καμπυλότητα Gauss, Γεωδαισιακές και γεωδαισιακή καμπυλότητα), Τοπικό και Ολικό Θεώρημα Gauss-Bonnet, Επιφάνειες με σταθερή καμπυλότητα, Τοπολογική δομή επιφανειών, Χαρακτηριστική Euler. 

Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί και Πραγματικοί αριθμοί. Μαθηματική Επαγωγή. Η Πληρότητα των Πραγματικών Αριθμών. Ακολουθίες Πραγματικών Αριθμών. Όρια και ιδιότητες. Μονότονες και φραγμένες ακολουθίες. Οριακά σημεία ακολουθίας, υπακολουθίες. Η έννοια του limsup και liminf. Ακολουθίες Cauchy. Θεώρημα Bolzano-Weierstrass. Σειρές Πραγματικών Αριθμών. Σύγκλιση, ιδιότητες. Κριτήρια σύγκρισης, λόγου, ρίζας, συμπύκνωσης. Απόλυτη σύγκλιση, Εναλλάσουσες σειρές, Θεώρημα Leibniz. Παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης και συναρτήσεων με παραμετρική μορφή. Σειρές Taylor και δυναμοσειρές, διάστημα σύγκλισης, κριτήρια σύγκλισης.

Ορισμός ολοκληρώματος Riemann, άνω και κάτω αθροίσματα. Ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Ιδιότητες ολοκληρώματος. Θεμελιώδη Θεωρήματα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, Το αόριστο ολοκλήρωμα. Στοιχειώδεις μέθοδοι ολοκλήρωσης.

Εφαρμογές. Μη γνήσια ολοκληρώματα. Σειρές Taylor και δυναμοσειρές, διάστημα σύγκλισης, κριτήρια σύγκλισης. Παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειρών.

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, όρια, συνέχεια. Μερικές παράγωγοι, γεωμετρική ερμηνεία, σχέση με συνέχεια. Παράγωγος αριθμητικών και διανυσματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα του γραφήματος μιας συνάρτησης δυο μεταβλητών. Ιδιότητες της παραγώγου, κανόνας της αλυσίδας. Κλίση και κατευθυνόμενη παράγωγος. Απόκλιση και στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου. Mερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης. Iσότητα μικτών παραγώγων. Tύπος του Taylor. Mέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Συνθήκες για τοπικά ακρότατα ή σαγματικά σημεία. Πίνακας του Hesse στην περίπτωση δυο μεταβλητών. Ακρότατα υπό συνθήκες (πολλαπλασιαστές Lagrange). Παραδείγματα. Πεπλεγμένες συναρτήσεις. Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων. Παραγώγιση συναρτήσεων που δίνονται σε πεπλεγμένη μορφή. Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης.

Ολοκληρώματα Riemann αριθμητικών συναρτήσεων n-πραγματικών μεταβλητών, Επικαμπύλια ολοκληρώματα, Επιεπιφάνεια ολοκληρώματα

Ειδική θεωρία της σχετικότητας. Μη ορθογώνιους άξονες. Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. Αντιτανυστές. Καμπυλωμένο χώρο. Παράλληλη μετατόπιση. Σύμβολα Christoffel. Οι γεωδαισιακές καμπύλες. Σταθερή ιδιότητα στις γεωδαισιακές καμπύλες. Συναλλοίωτη παράγωγος. Ο τανυστής καμπυλότητας Riemann. Η προϋπόθεση για επίπεδο χωρόχρονο. Η ταυτότητα Bianchi. Ο τανυστής Ricci. Ο νόμος της βαρύτητας του Αϊνστάιν. Η προσέγγιση του Νεύτωνα. Η λύση του Schwarzschild. Μαύρες τρύπες. Ο τανυστής στις πυκνότητες. Θεωρήματα του Gauss και Stokes. Αρμονικές συντεταγμένες. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Ο τανυστής της ενέργειας του υλικού. Η αρχή της βαρυτικής δράσης. Η δράση για μια συνεχή κατανομή της ύλης. Η δράση για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η δράση για την φορτισμένη ύλη.