Το πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου. Βασικές μαθηματικές έννοιες από το λογισμό μεταβολών. Ακρότατα συναρτησιακών. Εξίσωση Euler-Lagrange. Ακρότατα συναρτησιακών με περιορισμούς. Βέλτιστος έλεγχος αιτιοκρατικών συστημάτων με ή και χωρίς φραγμό στο διάνυσμα ελέγχου. Αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Το πρόβλημα γραμμικής τετραγωνικής ρύθμισης (LQ) και παρακολούθησης. Εξισώσεις Riccati. Πρόβλημα ελαχίστου χρόνου. Θεωρία Hamilton-Jacobi-Bellman. Δυναμικός προγραμματισμός. Το πρόβλημα της γραμμικής τετραγωνικής Gaussian βελτιστοποίησης (LQG). Εφαρμογές στο MATLAB.

Η Συμπλεκτική και Poisson Γεωμετρία είναι ένας σύγχρονος και ενεργός κλάδος της Διαφορικής Γεωμετρίας του οποίου η ανάπτυξη είναι άμεσα συνδεδεμένη με την εξέλιξη της Αναλυτικής Μηχανικής και της Ουράνιας Μηχανικής. Στο παρών μάθημα θα επικεντρωθούμε στη μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων των λείων πολλαπλοτήτων που είναι εφοδιασμένες με μία συμπλεκτική δομή και θα παρουσιάσουμε κάποια από τα ποιο ενδιαφέροντα θεωρήματα της θεωρίας τους. Εφαρμογές της θεωρίας στην Αναλυτική Μηχανική θα παρουσιασθούν, επίσης.

Στόχος του μαθήματος είναι η μελέτη των ακόλουθων θεμάτων: • Τοπολογικά Δυναμικά Συστήματα • Επανεμφάνιση (σημείων, συνόλων) • Ομοιόμορφη Επανεμφάνιση και Ελαχιστικότητα • Ύπαρξη Περιοδικών Τροχιών • Μη-περιπλανόμενα σύνολα • Περιστροφές σε κύκλο • Τελεστές μεταφοράς και υπομεταφοράς • Μετασχηματισμός Gauss • Παραδείγματα (Πέταλο Αλόγου, Σωληνοειδές, Συνάρτηση Σκηνής) • Συνδυαστικές Εφαρμογές • Πολλαπλό Θεώρημα Επανεμφάνισης Birkhoff • Πολυδιάστατο Θεώρημα van der Waerden Βιβλιογραφία: • M. Brin and G. Stuck. Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2004. • H. Furstenberg. Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory, Princeton University Press, 1981. • B. Hasselblatt and A. Katok. A First Course in Dynamics with a panorama of recent developments, Cambridge University Press, 2003. • J. de Vries. Topological Dynamical Systems, An Introduction to the Dynamics of Continuous Maps, De Gruyter, 2014. • P. Walters. An Introduction to Ergodic Theory, Springer-Verlag, 1982.

Θεμελιώδεις Πολλαπλότητες: Αλγεβρικά σύνολα στο χώρο Αn, Θεμελιώδεις και Ημιθεμελιώδεις πολλαπλότητες, Το θεώρημα των ριζών του Hilbert, Δακτύλιος Συντεταγμένων, Τοπολογικοί χώροι της Noether. Προβολικές Πολλαπλότητες: Αλγεβρικά σύνολα στο χώρο Pn, Το προβολικό θεώρημα των ριζών, Προβολικό κάλυμμα θεμελιώδους πολλαπλότητας. Μορφισμοί Πολλαπλοτήτων: Κανονικές συναρτήσεις, Σώμα συναρτήσεων μίας πολλαπλότητας, Βασικές ιδιότητες μορφισμών, Πεπερασμένοι μορφισμοί, Ρητές απεικονίσεις. Γινόμενα Πολλαπλοτήτων: Γινόμενο θεμελιωδών πολλαπλοτήτων, Γινόμενο προβολικών πολλαπλοτήτων, Εμβάπτιση του Segree, Εικόνα προβολικής πολλαπλότητας. Διάσταση Πολλαπλοτήτων: Διάσταση Τοπολογικού χώρου, Διάσταση Krull ενός δακτυλίου, Διάσταση της τομής πολλαπλότητας με μία υπερεπιφάνεια, Διάσταση και μορφισμοί. Τοπικές Ιδιότητες.

Διδάσκονται οι ενότητες: Ομογενή-μη ομογενή μαρκοβιανά συστήματα. Κρυφά μαρκοβιανά μοντέλα (σε συνδυασμό με νευρωνικά δίκτυα, εφόσον υπάρχει χρόνος). Βασικά συστήματα αναμονής.

• Ενότητα 1η: Η Δειγματοληψία και οι εφαρμογές της στα Κοινωνικά και Οικονομικά Θέματα. Μέθοδοι και τεχνικές Δειγματοληψίας. Δημοσκοπήσεις από το Α ως το Ω.
• Ενότητα 2η: Κατάρτιση Ερωτηματολογίου και δοκιμή αξιοπιστίας του. Είδη ερωτήσεων και εξειδίκευση των χρήσεών τους. Από το ερωτηματολόγιο στις τυχαίες μεταβλητές και στην καταγραφή των δεδομένων τους σε αρχεία του Υπολογιστή. Επεξεργασία δεδομένων μετά την καταγραφή τους.
• Ενότητα 3η: Θέματα Δειγματοληψίας ειδικού περιεχομένου, όπως: «Ανίχνευση γραμμικής τάσης δεδομένων», «Ανίχνευση περιοδικότητας δεδομένων», «Δημιουργία εξίσωσης Συνάρτησης Πιθανότητας (2-βάθμιο μοντέλο) από δεδομένα 2 διαστάσεων, κλπ», «Ο Συντελεστής Μεταβλητότητας και οι εφαρμογές του, π.χ. Εύρεση δυμμετρικού μοντέλου συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας». 

Μετασχηματισμοί Mobius, βασικά μοντέλα της υπερβολικής γεωμετρίας, ισομετρίες, αποστάσεις με χρήση υπερβολικής μετρικής, σύγκριση με την Ευκλείδεια γεωμετρία, ομάδες ισομετριών, θεμελιώδη χωρία, σύνολο οριακών σημείων, υπερβολικές επιφάνειες, εκτιμήσεις του πυρήνα της θερμότητας.

Εισαγωγή στους χώρους αναλυτικών συναρτήσεων

Διδάσκονται δυο βασικά κεφάλαια: Θεωρία Ανανέωσης & Ημιμαρκοβιανές Αλυσίδες

Θεωρία και Εφαρμογές με τη γλώσσα προγραμματισμού R στα: 1. Γραμμικά Μοντέλα και Γραμμικά Μεικτά Μοντέλα 2. Ανάλυση Διασποράς και Συνδιασποράς - Επαναλαμβανόμενες Μετρήσεις 3. Πειραματικοί σχεδιασμοί κατά ομάδες 4. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα και Γενικευμένα Γραμμικά Μεικτά Μοντέλα.

Σχεδίαση συστημάτων βέλτιστου ελέγχου κυλιόμενου ορίζοντα με προβλέψεις προτύπων.

Κρυπτογραφία βασισμένη σε πλέγματα (lattices) & κρυπτανάλυση με πλέγματα

• Gauus-Lagrange αλγόριθμος
• LLL αλγόριθμος
• Μέθοδος του Coppersmith
• Κατασκευή του Ajtai

Εισαγωγή στις Αλγεβρες Lie. Θεωρία αναπαράστάσεων των Αλγεβρών Lie.