Μέρος 1. Ευθειογενείς επιφάνειες. Ταξινόμηση των ευθειογενών επιφανειών ως προς το καθετικό διάνυσμα. Η συνθήκη αναπτυκτότητας. Αναπτυκτές επιφάνειες. Γραμμή σύσφιγξης και στρεβλότητα ευθειογενούς επιφάνειας. Συνοδεύον τρίακμο του Kruppa. Εξισώσεις των παραγώγων του Sannia. Φυσική καμπυλότητα, φυσική στρέψη και σύσφιγξη. Ασυμπτωτικό, πολικό και κεντρικό επίπεδο. Η πρόταση του Βonnet. Μονοπαραμετρικές οικογένειες επιπέδων. Συνοδεύουσες ευθειογενείς και αναπτυκτές επιφάνειες. Ισοκλινείς ευθειογενείς επιφάνειες. Επιφάνειες με σταθερή στρεβλότητα. Κλειστές ευθειογενείς επιφάνειες. Γραμμικό άνοιγμα. Μέρος 2. Ευθειακή Γεωμετρία στον 3-διάστατο προβολικό χώρο. Συντεταγμένες του Plücker ευθείας. Η υπερεπιφάνεια του Plücker.στον 5-διάστατο προβολικό χώρο. Η απεικόνιση των Plücker-Klein. Η αρχή της μεταφοράς του Klein (Kleinsches Übertragungsprinzip). Αξονικές συντεταγμένες ευθείας. Ευθείες και επίπεδα της υπερεπιφάνειας του Plücker. Συμπλέγματα ευθειών. Γραμμικά συμπλέγματα. Μηδενικά συστήματα. Γραμμικά σμήνη.

Εισαγωγικά για τις ομάδες και άλγεβρες Lie. Δράσεις, τροχιές και σταθεροποιητές. Ινώδεις δέσμες, πρωταρχικές δέσμες, συνοχές και χαρακτηριστικές κλάσεις. Ομογενείς χώροι και παραδείγματα 

Ημιδακτύλιοι. Αυτόματα με βάρη σε ημιδακτύλιους. Αναγνωρίσιμες σειρές. Ιδιότητες αναγνωρίσιμων σειρών. Το πρόβλημα της προσδιοστότητας των αυτομάτων με βάρη. Προβλήματα αποφασισιμότητας. Εφαρμογές: Ασαφείς γλώσσες. Ψηφιακή συμπίεση εικόνας. 

Το μάθημα αυτό είναι μία εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία η οποία θα προσπαθήσει να παρουσιάσει και μερικά από τα πολλά θέματα Άλγεβρας τα οποία αναπτύχθηκαν μέσω του αντικειμένου αυτού, αλλά χωρίς να χαθεί η πολύ ενδιαφέρουσα Γεωμετρική/Τοπολογική σκοπιά.

Σκοπός είναι να καλυφθεί η βασική θεωρία (θεμελιώδης ομάδα, χώροι κάλυψης, ομολογία) και παράλληλα να δοθούν βασικές κατηγορίες χώρων και κάποια στοιχεία της ταξινόμησής τους.

Δεν θα παρακολουθήσουμε κάποιο συγκεκριμένο βιβλίο, αλλά έχουμε την τύχη να έχουμε διαθέσιμα αρκετά εξαιρετικά συγγράμματα, όπως αυτά των Hatcher, Rotman, Bredon, May, Massey, tom Dieck, Greenberg & Harper και άλλων. Στα μεταπτυχιακά συγγράμματα στην βιβλιοθήκη υπάρχουν αντίτυπα των βιβλίων των Rotman, Bredon και tom Dieck. Ελεύθερα διαθέσιμα είναι τα βιβλία των Hatcher και J.P. May.

Ιστορικά στοιχεία, σύνδεση με αλγεβρική θεωρία αριθμών-αλγεβρική γεωμετρία θεωρία αναλλοίωτων. Εισαγωγικά στη θεωρία των αντιμεταθετικών δακτυλίων και modules, ομομορφισμοί, ακριβές ακολουθίες, τανυστικά γινόμενα, επίπεδα (flat) modules. Τοπικοποίηση. Δακτύλιοι και modules της Noether και του Artin, Θεώρημα Βάσης του Hilbert. Συναφή πρώτα ιδεώδη (associated primes) και πρωταρχική ανάλυση (primary decomposition). Ακέραια εξάρτηση και Nullstellensatz. Φιλτράρισμα και το Λήμμα του Artin-Rees. Ολοκήρωση (completion), το Λήμμα του Hensel και το Θεώρημα της Δομής του Cohen. Θεωρία διάστασης και τα πολυώνυμα του HilbertSamuel. Κανονικοποίση της Noether. Διακριτές εκτιμήσεις και περιοχές του Dedekind