Υπενθύμιση και παρουσίαση βασικών εννοιών καμπυλότητας στη Διαφορική Γεωμετρία
(καμπυλότητα Gauss, Κύρια και μέση καμπυλότητα, κάθετη και γεωδαισιακή
καμπυλότητα), συναλλοίωτη παράγωγος και γεωδαισιακές καμπύλες,
συναρτησοειδές μήκους, Θεώρημα Clairaut, τοπικό και oλικό Θεώρημα
Gauss-Bonnet, Επιφάνειες με σταθερή καμπυλότητα, Τοπολογική δομή
επιφανειών, Χαρακτηριστική Euler.

Θεωρία καμπύλων : Έννοια της καμπύλης. Συνοδεύον τρίακμο. Τύποι Frenet.
Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας καμπύλων (ύπαρξης και μοναδικότητας). Εγγύτατη σφαίρα και εγγύτατος κύκλος. Ειδικές καμπύλες. Επίπεδες καμπύλες. Θεωρία επιφανειών : Έννοια της επιφάνειας. Επιφανειακές καμπύλες. Πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή. Ασυμπτωτικές γραμμές. Σύμβολα Christoffel. Εξισώσεις του Gauss και του Weingarten. Θεώρημα Egregium του Gauss. Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας επιφανειών.

Ιδιότητες κλειστότητας της κλάσης των αναγνωρίσιμων γλωσσών μέσω ομομορφισμών. Μοναδιακή λογική δεύτερης τάξης (MSO logic). Εκφραστική ισοδυναμία αυτομάτων και προτάσεων MSO λογικής. Λογική πρώτης τάξης. Γραμμική χρονική λογική (LTL). Εκφραστική ισοδυναμία λογικής πρώτης τάξης και γραμμικής χρονικής λογικής. Εφαρμογές στον έλεγχο μοντέλων.

Επαναληπτικό

Με το μάθημα της Ιστορίας των Μαθηματικών επιδιώκεται η απόκτηση μιας γενικότερης εποπτείας της σταδιακής εξέλιξής τους, από την αρχαιότητα έως σήμερα.

Με εστίαση στην εξέλιξη της Άλγεβρας, θα περιγραφεί η πορεία από την εμπειρική χρήση των Μαθηματικών για επίλυση προβλημάτων της καθημερινότητας, μέχρι τη συστηματική θεωρητικοποίησή τους. Επιπλέον, θα αναλυθεί η συμβολή τους στη θεμελίωση και ανάπτυξη του συνόλου σχεδόν των επιστημονικών τομέων, μεταξύ άλλων της Αστρονομίας, της Μηχανικής, των Οικονομικών, των Κοινωνικών Επιστημών, κ.λπ.

Ιδιαίτερη βαρύτητα θα δοθεί στη διαλογική σχέση μεταξύ των μαθηματικών εννοιών και του κοινωνικού και πολιτισμικού πλαισίου στο οποίο γεννήθηκαν και διαμορφώθηκαν, η οποία θα διασαφηνιστεί μέσω της κριτικής θεώρησης των πρωτευόντων και δευτερευόντων πηγών και ιστορικών στοιχείων που θα παρουσιαστούν στο μάθημα.

Το μάθημα αποτελεί τη συνέχεια της Διδακτικής των Μαθηματικών Ι, εστιάζοντας σε πρακτικά θέματα της εφαρμογής της διδακτικής θεωρίας στα δεδομένα του ελληνικού σχολείου. Λαμβάνεται υπ’ όψιν το Πρόγραμμα Σπουδών στα Μαθηματικά και παρέχονται συγκεκριμένες κατευθύνσεις που θα βοηθήσουν έναν υποψήφιο εκπαιδευτικό να ανταποκριθεί αποτελεσματικά στα μελλοντικά διδακτικά του καθήκοντα. Βασικός στόχος του μαθήματος είναι η καθοδήγηση στον σχεδιασμό ενός άρτια οργανωμένου μαθήματος Μαθηματικών, το οποίο θα υλοποιηθεί σε μια τυπική σχολική τάξη στα πλαίσια της πρακτικής άσκησης.

Το μάθημα αποτελεί μία εισαγωγή στην αλγεβρική γεωμετρία, εστιάζοντας στις αλγεβρικές καμπύλες.

Συχνά υποστηρίζεται ότι η διδασκαλία των Μαθηματικών είναι τέχνη, αλλά ακόμα και σε αυτήν την περίπτωση η αποτελεσματικότητά της ενισχύεται από τη γνώση μιας σειράς παραγόντων που επηρεάζουν τη μάθηση, τους οποίους έχει αναδείξει η εκπαιδευτική έρευνα τις τελευταίες δεκαετίες. Η επιλογή του περιεχομένου του μαθήματος έγινε με σκοπό να εξοικειωθούν οι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί με τους πολύπλοκους μηχανισμούς της μάθησης, και ταυτόχρονα να εφοδιαστούν με τα κατάλληλα θεωρητικά και πρακτικά εργαλεία που θα τους βοηθούν να οργανώνουν και να υλοποιούν αποτελεσματικά σχέδια διδασκαλίας Μαθηματικών. Τα θέματα που πραγματεύεται το μάθημα της Διδακτικής των Μαθηματικών Ι είναι τα εξής: - Θεωρίες Μάθησης - Βασικές Θεωρητικές Αρχές της Διδασκαλίας των Μαθηματικών - Μαθηματικά Προβλήματα - Απόδειξη στα Μαθηματικά - Διδακτική της Γεωμετρίας - Μαθηματική Μοντελοποίηση - Ανάπτυξη της Κριτικής Σκέψης - Σύγχρονες Θεωρίες Κινήτρων και Μαθηματικά - Διαφοροποιημένη διδασκαλία των Μαθηματικών - Αξιοποίηση Ψηφιακών Βοηθημάτων στα Μαθηματικά

Στο μάθημα παρουσιάζονται οι κυριότερες κατηγορίες συνήθων διαφορικών εξισώσεων και αναλύονται οι τεχνικές επίλυσής τους. Το μεγαλύτερο τμήμα του μαθήματος αφορά την επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Συμπεριλαμβάνει όμως και την επίλυση μη-γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης και γνωστών κατηγοριών μη-γραμμικών εξισώσεων, όπως του Bernoulli και του Euler. Αναπτύσσεται επίσης η κύρια θεωρία ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης πρωτοβάθμιας εξίσωσης με μεθόδους διαδοχικών προσεγγίσεων.

• Τοπολογικοί χώροι. Τοπικές έννοιες (βάσεις τοπολογίας και περιοχών, υπόχωροι). Tοπολογία γινόμενο. Tοπολογία πηλίκο. • Σύγκλιση και συνεχείς συναρτήσεις. • Συμπάγεια και συνεκτικότητα. • Συνθήκες αριθμησιμότητας, διαχωριστικά αξιώματα, μετρικοποιησιμότητα. • Θεώρημα Tychonoff. Συμπαγοποίηση Stone­-Čech. • Χώροι συναρτήσεων. Σημειακή σύγκλιση, συμπαγής­ανοικτή τοπολογία, θεώρημα Ascoli, χώροι Baire.

Βιβλιογραφία

- Εισαγωγή στην Τοπολογία, Χ.Καρυοφύλλης, Χ.Κωνσταντιλάκη, Αφοί Κυριακίδη, Εκδόσεις Α.Ε., 2003 (νέο 2017) - Γενική Τοπολογία, Δ. Γεωργίου-Σ. Ηλιάδης, Εκδ. Τζιόλα - Τοπολογία, Π.Τσαμάτος, Εκδ. Τζιόλα, 2009 (νέο 2016)